Die Linearisierung einer DGL ist ein Prozess, der verwendet wird, um eine nichtlineare Differentialgleichung in eine lineare Differentialgleichung umzuwandeln. Dieser Prozess kann verwendet werden, um eine DGL zu lösen, die nicht explizit gelöst werden kann.
Zum Beispiel können wir die Gleichung y“ + y = 0 linearisieren, indem wir y = v‘ einsetzen, wo v eine neue Variable ist. Dies führt zu der linearen Differentialgleichung v“ + v = 0, die gelöst werden kann.
In einigen Fällen kann die Linearisierung einer DGL zu einer Differentialgleichung führen, die nicht lösbar ist. In diesem Fall kann die Linearisierung immer noch verwendet werden, um die Lösung der DGL zu approximieren.
Wann ist ein dgl linear?
In einem n-dimensionalen Euclidischen Vektorraum ist eine Abbildung L:V→W linear, falls für alle Vektoren x,y∈V und alle Skalare a,b∈K gilt: L(ax+by)=aL(x)+bL(y). Die nächste Frage ist, was es bedeutet, eine Abbildung zu linearisieren. Dazu muss man sich zunächst klar machen, was es bedeutet, eine Abbildung zu sein. In diesem Kontext ist eine Abbildung eine Zuordnung von Vektoren zu Vektoren, die den folgenden Regeln entspricht: Für alle Vektoren x und y gilt: L(x+y)=L(x)+L(y). Für alle Vektoren x und y gilt: L(ax)=aL(x). Dies bedeutet, dass eine lineare Abbildung die folgenden beiden Eigenschaften besitzt: Die Abbildung ist homogen, d.h. sie verändert nicht die Richtung eines Vektors. Die Abbildung ist additiv, d.h. sie verändert nicht die Länge eines Vektors. Eine lineare Abbildung ist also eine Abbildung, die Vektoren nur durch eine Verschiebung und eine Streckung (oder Kontraktion) transformiert.
Wie Linearisiert man eine Funktion?
LINEARE UND NICHTLINEARE FUNKTIONEN
Eine Funktion ist linear, wenn sie die folgenden beiden Kriterien erfüllt:
Jede Änderung der Eingabe führt zu einer Änderung der Ausgabe, die gleich proportional ist.
Die Ausgabe ist gleich der Eingabe, wenn die Eingabe Null ist.
Eine Funktion ist nichtlinear, wenn sie mindestens eines der beiden Kriterien nicht erfüllt.
Eine lineare Funktion kann in der Form f(x)=mx+b dargestellt werden. In dieser Form ist m der Steigungsvektor und b der y-Achsenabschnitt. Wenn Sie den Graphen einer linearen Funktion zeichnen, erhalten Sie eine gerade Linie.
Eine nichtlineare Funktion kann nicht in der Form f(x)=mx+b dargestellt werden. In der Regel ist die Ausgabe einer nichtlinearen Funktion nicht gleich der Eingabe, wenn die Eingabe Null ist. Wenn Sie den Graphen einer nichtlinearen Funktion zeichnen, erhalten Sie in der Regel eine Kurve.
Die meisten Funktionen, die Sie in der Mathematik und in der Physik finden, sind nichtlineare Funktionen. Zu den linearen Funktionen zählen z.B. die lineare Gleichung y=mx+b und die lineare Gleichgewichtsfunktion F=ma. Zu den nichtlinearen Funktionen zählen z.B. die Quadratische Gleichung y=ax2+bx+c und die Exponentialfunktion y=abx.
Die meisten physikalischen Größen sind nichtlineare Funktionen der Zeit. Zum Beispiel ist die Position eines Körpers, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, eine lineare Funktion der Zeit, während die Geschwindigkeit und die Beschleunigung nichtlineare Funktionen der Zeit sind.
Wenn Sie eine nichtlineare Funktion in eine lineare Funktion umwandeln möchten, können Sie die Funktion linearisieren. Linearisieren bedeutet, die Funktion so zu ändern, dass sie die Form f(x)=mx+b hat. In der Regel wird eine nichtlineare Funktion durch eine lineare Funktion annähernd beschrieben, wenn sich die Eingabe in der Nähe eines bestimmten Punktes befindet.
Um eine nichtlineare Funktion zu linearisieren, müssen Sie zwei Punkte auf dem Graphen der Funktion finden. Anschließend können Sie die Steigung der geraden Linie berechnen, die durch diese beiden Punkte verläuft. Die Steigung der geraden Linie ist der m-Wert in der linearen Funktion f(x)=mx+b. Um den y-Achsenabschnitt zu berechnen, setzen Sie den Wert der Eingabe in einen der Punkte in die lineare Funktion ein und lösen die Gleichung nach b.
Sie können auch den Graphen einer nichtlinearen Funktion auf ein Koordinatensystem mit logarithmischer Skala zeichnen. In diesem Fall ist die lineare Funktion, die die nichtlineare Funktion annähernd beschreibt, in der Regel f(x)=mx+b, wobei m der Steigungsvektor der Geraden ist, die durch die Punkte auf dem neuen Graphen verläuft, und b der y-Achsenabschnitt der Geraden ist. Der Vorteil einer logarithmischen Skala ist, dass sie es Ihnen ermöglicht, Punkte auf dem Graphen zu finden, die weit voneinander entfernt sind. Zum Beispiel können Sie den Graphen einer quadratischen Funktion auf einem Koordinatensystem mit logarithmischer x-Skala zeichnen, um die Punkte (1,1) und (100,10000) zu finden. Dies würde Ihnen nicht möglich sein, wenn Sie den Graphen auf einem Koordinatensystem mit linearer Skala zeichnen würden.
Warum Linearisiert man?
Wenn man eine lineare Funktion hat, kann man sie oft in einfachere Funktionen zerlegen, was das Problem einfacher zu lösen macht. Man kann eine lineare Funktion auch in eine Reihe von anderen Funktionen umwandeln, was das Problem einfacher zu lösen macht. Die lineare Funktion ist einfach zu integrieren und differentieren.
erstellt.
Die Linearisierung einer DGL ist ein Prozess, bei dem eine nichtlineare Differentialgleichung in eine lineare Differentialgleichung umgewandelt wird. Dieser Prozess ist nützlich, da lineare Differentialgleichungen relativ einfach zu lösen sind. Linearisierung kann auf verschiedene Weise durchgeführt werden, aber eine der einfachsten Möglichkeiten ist die Substitution y = u + v, wobei u und v Lösungen der linearen Gleichung sind.
Beispiel:
Betrachten Sie die DGL y ‚ = xy. Diese ist nichtlineal, da sie eine Produkt-Differentiation aufweist. Wir können diese Gleichung jedoch linearisieren, indem wir y in zwei Teile aufteilen: y = u + v. Durch Substitution in die ursprüngliche Gleichung erhalten wir:
y ‚ = u ‚ + v ‚ = x(u + v) = xu + xv
Da u und v Lösungen der linearen Gleichung sind, können wir sie als konstanten Wert betrachten und die Gleichung weiter lösen:
y ‚ = xu + xv = x(c1 + c2) = c1x + c2x = cx + cx = 2cx
Dies ist eine lineare Differentialgleichung mit der Lösung y = c1e2x + c2e2x.
